スキップしてメイン コンテンツに移動

Project Euler - Problem 27

問題

しばらく止まってましたが今日から再開。

  • 原文

    Considering quadratics of the form:

    n2 + an + b, where |a| < 1000 and |b| < 1000

    Find the product of the coefficients, a and b, for the quadratic expression that produces the maximum number of primes for consecutive values of n, starting with n = 0.

  • 日本語訳

    |a| < 1000, |b| < 1000 として以下の二次式を考える (ここで|a|は絶対値):

    n2 + an + b

    n=0から始めて連続する整数で素数を生成したときに最長の長さとなる上の二次式の, 係数a, bの積を答えよ.

解答

最大探索範囲は-999 <= a <= 999、-999 <= b <= 999なので、およそ4,000,000通りの係数の組合せを試すことになります。組合せ毎に数列を生成して、それが素数か判定するわけですからたまりません。簡単な検討を加えて範囲を絞りましょう。

与えられた二次式をf(n)とおくと、f(0) = b、f(1) = a + b + 1です。 f(n)が長さ2以上の素数列を生成するならこれらは素数ですから、次のことがいえます:

  1. bは素数である
  2. a + b + 1は素数である
  3. b = 2のとき、aは偶数である
  4. それ以外のとき、aは奇数である

素数判定関数is_primeには同じ引数が与えられることがよくあるのでメモ化しています。

#!/usr/bin/perl

use strict;
use warnings;
use feature qw/say/;

sub prime_seq_len($$) {
  my ($coeff_a, $coeff_b) = @_;
  my $len = 0;
  my $n = 0;
  $len++, $n++ while is_prime($n * ($n + $coeff_a) + $coeff_b);
  return $len;
}

{
  my %primes = ( 2 => 1 );
  sub is_prime(_) {
    my $n = abs shift;

    unless (exists $primes{$n}) {
      return 0 if $n < 2 or $n % 2 == 0;

      my $is_prime = 1;
      for (my $i = 3; $i <= sqrt $n; $i += 2) {
        if ($n % $i == 0) {
          $is_prime = 0;
          last;
        }
      }
      $primes{$n} = $is_prime;
    }

    return $primes{$n};
  }
}

my $longest = 0;
my $product;
for my $coeff_b (grep { is_prime } -999 .. 999) {
  my $modulo = $coeff_b == 2 ? 0 : 1;
  my @a_cands = grep { $_ % 2 == $modulo
                         and is_prime($_ + $coeff_b + 1) } -999 .. 999;
  for my $coeff_a (@a_cands) {
    my $len = prime_seq_len($coeff_a, $coeff_b);
    if ($longest < $len) {
      $longest = $len;
      $product = $coeff_a * $coeff_b;
    }
  }
}

say $product;

追記

コメントで匿名氏に御指摘いただきました。

b = n = 2とするとf(2) = 22 + 2a + 2となり、これは明らかに(2より大きい)偶数です。 つまりb = 2のとき、生成する素数列の長さは高々2であり、無視できることになります。

前掲のコードでb = 2のケースを考慮している部分($moduloのあたり)は不要になりました:

my $longest = 0;
my $product;
for my $coeff_b (grep { is_prime } -999 .. 999) {
  my @a_cands = grep { $_ % 2 != 0
                         and is_prime($_ + $coeff_b + 1) } -999 .. 999;
  for my $coeff_a (@a_cands) {
    my $len = prime_seq_len($coeff_a, $coeff_b);
    if ($longest < $len) {
      $longest = $len;
      $product = $coeff_a * $coeff_b;
    }
  }
}

say $product;

コメント

  1. b = 2 の場合、n が偶数の時には必ず f(n) は偶数になってしまうので、f(n) が素数になるのは n が 2 未満の場合に限られます。
    最初から b = 2 の場合は考えなくてよいのでは?

    返信削除
  2. コメント承認が遅くなってすいませんでした。

    b=n=2の時偶数になるのはその通りです。
    完全に見落としていました。御指摘ありがとうございます。

    返信削除

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

京大テキストコーパスのパーサを書いた

要旨CaboCha やなんかの出力形式であるところの京大テキストコーパス形式のパーサモジュールを Perl で書いたので紹介します。GithubTarball on Github Ppagesこれを使うと例えば CaboCha の出力した係り受け関係を Perl のオブジェクトグラフとして取得できます。使用例単なる文節区切りの例。#!/usr/bin/env perl use v5.18; use utf8; use IPC::Open3; use Parse::KyotoUniversityTextCorpus; use Parse::KyotoUniversityTextCorpus::MorphemeParser::MeCab; use Symbol qw//; my ($in, $out, $err); my $pid; BEGIN { ($in, $out, $err) = (Symbol::gensym, Symbol::gensym, Symbol::gensym); $pid = open3($in, $out, $err, cabocha => '-f1'); } END { close $out; close $err; waitpid $pid => 0 if defined $pid; } binmode STDOUT, ':encoding(utf8)'; binmode $in, ':encoding(utf8)'; binmode $out, ':encoding(utf8)'; my $parser = Parse::KyotoUniversityTextCorpus->new( morpheme_parser => Parse::KyotoUniversityTextCorpus::MorphemeParser::MeCab->new, ); say $in '星から出るのに、その子は渡り鳥を使ったんだと思う。'; say $in '出る日の朝、自分の星の片付けをした。'; close $in; my $sentence_trees = $parser->…

OCaml で Web フロントエンドを書く

要旨フロントエンド開発に Elm は堅くて速くてとても良いと思う。昨今の Flux 系アーキテクチャは代数的データ型と相性が良い。ところで工数を減らすためにはバックエンドも同じ言語で書いてあわよくば isomorphic にしてしまいたいところだが、Elm はバックエンドを書くには現状適していない。OCaml なら js_of_ocaml でエコシステムを丸ごとブラウザに持って来れるのでフロントエンドもバックエンドも無理なく書けるはずである。まず The Elm Architecture を OCaml で実践できるようにするため Caelm というライブラリを書いている。俺の野望はまだまだこれからだ (未完)Elm と TEA についてElm というプログラミング言語がある。いわゆる AltJS の一つである。 ミニマリスティクな ML 系の関数言語で、型推論を持ち、型クラスを持たず、例外機構を持たず、変数の再代入を許さず、正格評価され、代数的データ型を持つ。 言語も小綺麗で良いのだが、何より付属のコアライブラリが体現する The Elm Architecture (TEA) が重要である。TEA は端的に言えば Flux フロントエンド・アーキテクチャの変種である。同じく Flux の派生である Redux の README に TEA の影響を受けたと書いてあるので知っている人もいるだろう。 ビューなどから非同期に送信される Message (Redux だと Action) を受けて状態 (Model; Redux だと State) を更新すると、それに対応して Virtual DOM が再構築されビューがよしなに再描画され人生を書き換える者もいた——という一方向の流れはいずれにせよ同じである。 差異はオブジェクトではなく関数で構成されていることと、アプリケーション外部との入出力は非同期メッセージである Cmd / Sub を返す規約になっていることくらいだろうか。後者は面白い特徴で、副作用のある処理はアプリケーションの外で起きて結果だけが Message として非同期に飛んでくるので、内部は純粋に保たれる。つまり Elm アプリケーションが相手にしないといけない入力は今現在のアプリケーションの完全な状態である Model と、時系列イベントである Me…

部分継続チュートリアル

この文書についてこれはCommunity Scheme Wikiで公開されているcomposable-continuations-tutorial(2010年09月30日版)の日本語訳です。誤字脱字・誤訳などがありましたらコメントあるいはメールで御指摘いただけると幸いです。本訳は原文のライセンスに基づきCreative Commons Attribution-ShareAlike 2.0 Genericの下で公開されます。Original text: Copyright© 2006-2010 Community Scheme WikiJapanese translation: Copyright© 2011 SATOH Koichi本文部分継続(Composable continuation)は継続区間を具象化することで制御を逆転させるものです。 ウンザリするほど複雑な概念を表す長ったらしいジャーゴンのように聞こえますが、実際はそうではありません。今からそれを説明します。resetとshiftという2つのスペシャルフォームを導入するところから始めましょう[1]。 (reset expression)は特別な継続を作るなりスタックに目印を付けるなりしてからexpressionを評価します。簡単に言えば、expressionが評価されるとき、あとから参照できる評価中の情報が存在するということです。 実際にはshiftがこの情報を参照します。(shift variable expression)は目印のついた場所、つまりresetを使った場所にジャンプし、その場所からshiftを呼び出した場所までのプログラムの断片を保存します; これはプログラムの区間を「部分継続」として知られる組み合わせ可能な手続きに具象化し、この手続きにvariableを束縛してからexpressionを評価します。組み合わせ可能(Composable)という語はその手続きが呼び出し元に戻ってくるため、他の手続きと組み合わせられることから来ています。 Composable continuationの別名として例えば限定継続(Delimited continuation)や部分継続(Partial continuation)もありますが、ここでは一貫して「組み合わせ可能」という用語を使います(訳注: …